Tìm m để phương trình sin 4x=m tanx có nghiệm x khác k pi

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Điều kiện $\cos x\ne 0$. Phương trình đã cho trở thành:

$$\begin{gathered} 2\sin 2x.\cos 2x=\frac{m.\sin x}{\cos x} \\ \iff 4.\sin x.\cos x.\cos 2x=m.\frac{\sin x}{\cos x}\left(*\right) \end{gathered}$$

Vì $x\ne k\pi \Rightarrow \sin x\ne 0$, khi đó: $\left(*\right)\iff 4{\cos }^{2}x\left(2{\cos }^{2}x-1\right)=m\iff m=8{\cos }^{4}x-4{\cos }^{2}x$

Đặt $t={\cos }^{2}x,$ với $\left\{\begin{array}{l}x\ne k\pi \\ \cos x\ne 0\end{array}\right.$ suy ra $t={\cos }^{2}x\in \left(0;1\right)\to m=8t^4-4t^2\left(I\right)$

Xét hàm số $f\left(t\right)=8t^4-4t^2$ trên $\left(0;1\right)$ có:

$f\text{'}\left(t\right)=32t^3-8t;f\text{'}\left(t\right)=0\iff \left\{\begin{array}{l}0<t<1\\ 4t^3-t=0\end{array}\right.\iff t=\frac{1}{2}$

Tính các giá trị $f\left(0\right)=0;f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2};f\left(1\right)=4$.

Vậy (I) có nghiệm $\iff -\frac{1}{2}\le m<4$