Tìm tất cả các giá tri thực của tham số m để bất phương trình 2^3x +(m-1

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

$$\begin{gathered} BPT\iff 2^{3x}+\left(m-1\right)3^x+m-1>0 \\ \iff 2^{3x}-3^x-1+m\left(3^x+1\right)>0 \\ \iff m>\frac{3^x-8^x+1}{3^x+1};\forall x\in ℝ\left(*\right). \end{gathered}$$

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{3^x-8^x+1}{3^x+1};\forall x\in ℝ,$

ta có $f\text{'}\left(x\right)=\frac{8^x\left[(\ln 3-\ln 8\right]{.3}^x-\ln 8}{{\left(3^x+1\right)}^2}<0;\forall x\in ℝ.$

Suy ra $f\left(x\right)$ là hàm số nghịch biến trên $\mathrm{ℝ}$ mà $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=1,$do đó $\underset{x\in ℝ}{\min }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$

Vậy $\left(*\right)\iff m\ge \underset{x\in ℝ}{\min }f\left(x\right)=1\Rightarrow m\ge 1$là giá trị cần tìm.