Cho x,y >0 thỏa mãn log(x +2y) =logx +logy. Khi đó giá trị nhỏ nhất của

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Ta có:

$$\begin{gathered} \log \left(x+2y\right)=\log x+\log y \\ \iff \log 2\left(x+2y\right)=\log 2xy\iff 2\left(x+2y\right)=2xy\left(*\right). \end{gathered}$$

Đặt $\left\{\begin{array}{l}a=x>0\\ b=2y>0\end{array}\right.,$khi đó $\left(*\right)\iff 2\left(a+b\right)=ab$và $P=\frac{a^2}{1+b}+\frac{b^2}{1+a}\ge \frac{{\left(a+b\right)}^2}{a+b+2}.$

Lại có $ab\le \frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}\Rightarrow 2\left(a+b\right)\le \frac{{\left(a+b\right)}^2}{4}\iff a+b\ge 8.$

Đặt $t=a+b,$do đó $P\ge f\left(t\right)=\frac{t^2}{t+2}$

Xét hàm số $f\left(t\right)=\frac{t^2}{t+2}$ trên $\left[8;+\infty \right),$có $f\text{'}\left(t\right)=\frac{t^2+2t}{{\left(t+2\right)}^2}>0;\forall t\ge 8$

Suy ra $f\left(t\right)$ là hàm số đồng biến trên $\left[8;+\infty \right)\to \underset{\left[8;+\infty \right)}{\min }f\left(t\right)=f\left(8\right)=\frac{32}{5}.$

Vậy gía trị nhỏ nhất của biểu thức P là $\frac{32}{5}.$