Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Gọi O là tâm của tam giác $BCD\Rightarrow OA\perp \left(BCD\right)$

Mà $\left(AMN\right)\perp \left(BCD\right)$ suy ra MN luôn đi qua điểm O.

Đặt $BM=x,BN=y\Rightarrow S_{\Delta BMN}=\frac{1}{2}.BM.BN.\sin \widehat{MBN}=\frac{\sqrt{3}}{4}xy.$

Tam giác ABO vuông tại O

Suy ra thể tích tứ diện ABMN là $V=\frac{1}{3}.OA.S_{\Delta BMN}=\frac{\sqrt{2}}{12}xy.$

Mà MN đi qua trọng tâm của $\Delta BCD\Rightarrow 3xy=x+y.$ 

Do đó:

$$\begin{gathered} xy\le \frac{{\left(x+y\right)}^2}{4}=\frac{9{\left(xy\right)}^2}{4} \\ \iff \frac{1}{2}\ge xy\ge \frac{4}{9}\to V_1=\frac{\sqrt{2}}{24};V_2=\frac{\sqrt{2}}{27}. \end{gathered}$$

Vậy $V_1+V_2=\frac{17\sqrt{2}}{216}.$