Cho x;y là các số thực dương thỏa mãn xy=4;x>-1/2;y>=1Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

* Hướng dẫn giải

Thay $y=\frac{4}{x}$ vào biểu thức P và biến đổi ta thu được

$P=-9{\left({\log }_2\right)}^2+27{\log }_2\left(x\right)-27$.

Do $y\ge 1$ nên $x\le 4$. Suy ra $\frac{1}{2}\le x\le 4$. Đặt $t={\log }_2\left(x\right)$, khi đó $-1\le t\le 2$.

Xét hàm số f(t0 = $-9t^2$ + 27t - 27; $t\in \left[-1;2\right]$

Ta có f ' (t) = -18t + 27; f ' (t) = 0 $\iff t=\frac{3}{2}$

f (-1) = -63; f (2) = -9; $f\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{27}{4}$

Vậy

$$\begin{gathered} max P =-\frac{27}{4} \\ \iff x=2\sqrt{2};y=\sqrt{2} \end{gathered}$$

Đáp án A