Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x^2 +y^2 +z^2 =3

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.

Mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2=3$

có tâm $O\left(0;0;0\right)$ và bán kính $R=\sqrt{3}$

Giả sử $A\left(a;0;0\right),B\left(0;b;0\right),C\left(0;0;c\right)$ với $a,b,c>0$ $\Rightarrow$Phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}-1=0$

Để ý rằng $O{A}^2+O{B}^2+O{C}^2=27\iff a^2+b^2+c^2=27$ và vì $\left(\alpha \right)$ tiếp xúc mặt cầu $\left(S\right):$

$$\begin{gathered} \Rightarrow d\left(O,\left(\alpha \right)\right)=R=\sqrt{3}\iff \frac{\left|\frac{0}{a}+\frac{0}{b}+\frac{0}{c}-1\right|}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}=\sqrt{3} \\ \iff \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{1}{3} \end{gathered}$$

Ta luôn có bất đẳng thức $\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\right)\ge 9$ với $a,b,c>0.$

Dấu bằng khi $a=b=c=3$

Ta có $V_{O.ABC}=\frac{OA.OB.OC}{6}=\frac{abc}{6}=\frac{27}{6}$

hoặc $V_{O.ABC}=\frac{d\left(O,\left(\alpha \right)\right).S_{ABC}}{3}\iff S_{ABC}=\frac{9\sqrt{3}}{2}.$