Cho hai số phức z, w khác 0 và thỏa mãn 3/z + 4/w = 5/(z + w), biết mô đun w =1

* Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Từ giả thiết, ta có:

$$\begin{gathered} \frac{3}{z}+\frac{4}{\text{w}}=\frac{5}{z+\text{w}}\iff \frac{3w+4z}{z\text{w}}=\frac{5}{z+\text{w}} \\ \iff \left(3w+4z\right)\left(\text{w}+z\right)=5zw \end{gathered}$$ 

$$\begin{gathered} \iff 3w^2+7zw+4z^2=5zw \\ \iff 3w^2+2zw+4z^2=0\iff 3{\left(\frac{\text{w}}{z}\right)}^2+2\left(\frac{\text{w}}{z}\right)+4=0 \\ \iff \frac{\text{w}}{z}=-\frac{1}{3}\pm \frac{i\sqrt{11}}{3}. \end{gathered}$$

Lấy moodun hai vế, ta được

$$\begin{gathered} \left|\frac{\text{w}}{z}\right|=\left|\frac{\text{w}}{z}\right|=\left|-\frac{1}{3}\pm \frac{i\sqrt{11}}{3}\right| \\ =\sqrt{{\left(\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{11}}{3}\right)}^2}=\frac{2}{\sqrt{3}}\Rightarrow \left|z\right|=\frac{\sqrt{3}}{2}. \end{gathered}$$