Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh, a góc

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Gọi O là tâm hình vuông ABCD, H là trung điểm AB.

$$\begin{gathered} \Rightarrow AB\perp \left(SHO\right)\Rightarrow \widehat{\left(SAB\right);\left(ABCD\right)}=\widehat{\left(SH;OH\right)}=\widehat{SHO}=\alpha . \\ \Rightarrow cos\alpha =\frac{1}{3}\Rightarrow \tan \alpha =\sqrt{3x^2-1}=2\sqrt{2} \\ \Rightarrow SO=\tan \alpha \times OH=a\sqrt{2}. \end{gathered}$$

Kẻ CM vuông góc với SD $\left(\text{M}\in \text{S}D\right)\Rightarrow mp\left(P\right)\equiv mp\left(ACM\right).$

Mặt phẳng $AMC$ chia khối chóp A.ABCD thành hai khối đa diện gồm M.ACD có thể tích là $V_1$ và khối đa diện còn lại có thể tích $V_2.$

Diện tích tam giác SAB là $S_{\Delta SAB}=\frac{1}{2}.SH.AB=\frac{a}{2}.\frac{3a}{2}=\frac{3a^2}{4}.$

Và

$$\begin{gathered} SD=\sqrt{S{O}^2+D{O}^2}=\frac{a\sqrt{10}}{2} \\ \Rightarrow S_{\Delta .SCD}=\frac{1}{2}.SH.SD\Rightarrow CM=\frac{3a}{\sqrt{10}}. \end{gathered}$$

Tam giác MCD vuông tại M $\Rightarrow MD=\sqrt{C{D}^2-M{C}^2}=\frac{a}{\sqrt{10}}\Rightarrow \frac{MD}{SD}=\frac{1}{5}.$

Ta có:

$$\begin{gathered} \frac{V_{M.ACD}}{V_{S.ACD}}=\frac{MD}{SD}=\frac{1}{5}\Rightarrow V_{M.ACD}=\frac{V_{S.ABCD}}{10} \\ \iff V_1=\frac{V_1+V_2}{10}\iff \frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{9}. \end{gathered}$$