Tìm m để đường thẳng y = x + m (d ) cắt đồ thị hàm số y = (2x + 1)/ (x - 2

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Phương trình hoành độ giao điểm (C ) và (d) là

 $\frac{2x+1}{x-2}=x+m\iff \left\{\begin{array}{l}x\ne 2\\ \frac{x^2+\left(m-4\right)x-2m-1=0}{f\left(x\right)}\end{array}\right.\left(*\right)$

Để (C )cắt (d) tại hai điểm phân biệt $\iff \left(*\right)$  có 2 nghiệm phân biệt khác 2.

 $$\begin{gathered} \iff \left\{\begin{array}{l}f\left(2\right)\ne 0\\ {\Delta }_{\left(*\right)}>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{2}^2+2.\left(m-4\right)-2m-1\ne 0\\ {\left(m-4\right)}^2+4\left(2m+1\right)>0\end{array}\right. \\ \iff m^2+20>0\iff m\in ℝ \end{gathered}$$

Khi đó, gọi $x_1,x_2$  là hoành độ giao điểm của ( C) và ( d), thỏa mãn hệ thức

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=4-m\\ x_1{x}_2=-2m-1\end{array}\right..$

Theo bài ta, ta có  

$x_1<2<x_2\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1-2<0\\ x_2-2>0\end{array}\right.\iff \left(x_1-2\right)\left(x_2-2\right)<0.$

$$\begin{gathered} \iff x_1{x}_2-2\left(x_1+x_2\right)+4<0 \\ \iff -2m-1-2\left(4-m\right)+4<0\iff -5<0 \end{gathered}$$

(luôn đúng).

Vậy với mọi giá trị của m đều thỏa mãn yêu cầu bài toán.