Biết rằng các số thực a, b thay đổi sao cho hàm số f(x) = -x^3 + (x + a)^3

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Ta có

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=3\left[{\left(x+a\right)}^2+{\left(x+b\right)}^2-x^2\right] \\ =3\left[x^2+2\left(a+b\right)x+\left(a^2+b^2\right)\right] \end{gathered}$$

Để hàm số luôn đồng biến trên $\left(-\infty ;+\infty \right)$

thì ${\Delta }^{\text{'}}={\left(a+b\right)}^2-\left(a^2+b^2\right)\le 0\iff ab\le 0$

Ta có  

$P=a^2+b^2-4a-4b+2={\left(a+b-2\right)}^2-2ab-2\ge -2.$

Dâu bằng xảy ra khi $\left\{\begin{array}{l}a+b=2\\ ab=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=0\end{array}\right.$  hoặc ngược lại.