Xác định giá trị thực k để hàm số liên tục tại điểm x=1

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Cách1: Tư duy tự luận

Hàm số liên tục tại điểm $x=1$  khi $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)$  .

Ta có $f\left(1\right)=k$  và $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^{2016}+x-2}{\sqrt{2018x+1}-\sqrt{x+2018}}$  .

$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left[\left(x^{2016}-x\right)+2\left(x-1\right)\right]\left(\sqrt{2018x+1}+\sqrt{x+2018}\right)}{\left(\sqrt{2018x+1}-\sqrt{x+2018}\right)\left(\sqrt{2018x+1}+\sqrt{x+2018}\right)}$

$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x\left(x-1\right)\left[\left(x^{2014}+x^{2013}+\mathrm{...}+x+1\right)+2\right]\left(\sqrt{2018x+1}+\sqrt{x+2018}\right)}{2017\left(x-1\right)}$

$\begin{array}{l}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x\left[\left(x^{2014}+x^{2013}+\mathrm{...}+x+1\right)+2\right]\left(\sqrt{2018x+1}+\sqrt{x+2018}\right)}{2017}\\ =\frac{\left(2015+2\right).2\sqrt{1019}}{2017}\end{array}$

$=2\sqrt{2019}$

Vậy để hàm số liên tục tại điểm x=1 khi $k=2\sqrt{2019}$

Cách 2: Tư duy tự luận (tính giới hạn bằng công thức L’Hospital)

Ta có 

$\begin{array}{l}\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)\\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^{2016}+x-2}{\sqrt{2018x+1}-\sqrt{x+2018}}\\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2016x^{2015}+1}{\frac{1009}{\sqrt{2018x+1}}-\frac{1}{2\sqrt{x+2018}}}\end{array}$

$=\frac{2016+1}{\frac{1009}{\sqrt{2019}}-\frac{1}{2\sqrt{2019}}}=2\sqrt{2019}$

Hàm số liên tục tại điểm x=1 khi $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)$$\iff k=2\sqrt{2019}$  .

Cách 3: Sử dụng máy tính cầm tay (casio và vinacal)

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right) \\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^{2016}+x-2}{\sqrt{2018x+1}-\sqrt{x+2018}} \\ =2\sqrt{2019}. \end{gathered}$$

Hàm số liên tục tại điểm x=1 khi $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)=f\left(1\right)$$\iff k=2\sqrt{2019}$ .