Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Cách 1: Tư duy tự luận (Tính khoảng cách dựa vào hình chiếu)

Ta có 

$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}AB\text{//}CD\\ AB\not\subset \left(SCD\right)\\ CD\subset \left(SCD\right)\end{array}\right.\\ \Rightarrow AB\text{//}\left(SCD\right)\\ \Rightarrow d\left(B,\left(SCD\right)\right)=d\left(A;\left(SCD\right)\right)\end{array}$

Lại có $\left\{\begin{array}{l}CD\perp AD,AD\subset \left(SAD\right)\\ CD\perp SA,SA\subset \left(SAD\right)\\ AD\cap SA=A\end{array}\right.$$\Rightarrow CD\perp \left(SAD\right)$ .

Trong mặt phẳng (SAD)  : Kẻ $AH\perp SD,\left(H\in SD\right)$   thì $CD\perp AH$ .

Suy ra $AH\perp \left(ACD\right)$$\Rightarrow AH=d\left(A;\left(SCD\right)\right)$$=d\left(B;\left(SCD\right)\right)$ .

 $\Delta SAD$ vuông tại A nên 

$\begin{array}{l}\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{S{A}^2}+\frac{1}{A{D}^2}\\ =\frac{1}{{\left(2a\right)}^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{5}{4a^2}\\ \Rightarrow AH=\frac{2a}{\sqrt{5}}\end{array}$

Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) là $d=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$  .

Cách 2: Tư duy tự luận (Tinh khoảng cách qua công thức thể tích)

Thể tích khối chóp S.ABCD là $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}$$=\frac{1}{3}.2a.a^2=\frac{2a^3}{3}$  (đvtt)

Do $S_{\Delta BCD}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}$$\Rightarrow V_{S.BCD}=\frac{1}{2}{V}_{S.ABCD}=\frac{a^3}{3}$ (đvtt).

Ta có $CD\perp \left(SAD\right)$  (xem lại phần chứng minh ở cách 1)  $\Rightarrow CD\perp SD\Rightarrow \Delta SCD$vuông tại D. Suy ra

$\begin{array}{l}{S}_{\Delta SCD}=\frac{1}{2}SD.CD\\ =\frac{1}{2}\sqrt{S{A}^2+A{D}^2}.CD\\ =\frac{1}{2}.a.\sqrt{{\left(2a\right)}^2+a^2}\\ =\frac{a^2\sqrt{5}}{2}\end{array}$

 (đvdt)

Mặt khác 

$\begin{array}{l}{V}_{S.BCD}=V_{B.SCD}\\ =\frac{1}{3}d\left(B;\left(SCD\right)\right).S_{\Delta SCD}\\ \Rightarrow d\left(B;\left(SCD\right)\right)=\frac{3V_{S.BCD}}{S_{\Delta SCD}}\\ =\frac{2a}{\sqrt{5}}\end{array}$

Vậy khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) là $d=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$  .