Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm f '(x) trên R thỏa mãn f^2(1 + 2x) = x - f^3(1 - x)

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Với x=0 thay vào hai vế của đẳng thức $f^2\left(1+2x\right)=x-f^3\left(1-x\right)$  ta có $f^2\left(1\right)=-f^3\left(1\right)$ .

Đạo hàm hai vế của đẳng thức đã cho, ta có:

$4f\left(1+2x\right).f^{\text{'}}\left(1+2x\right)$$=1+3f^2\left(1-x\right).f^{\text{'}}\left(1-x\right)$$\stackrel{x=0}{\to }2f\left(1\right).f^{\text{'}}\left(1\right)=1+3f^2\left(1\right).f^{\text{'}}\left(1\right)$

Ta có hệ phương trình sau:$\left\{\begin{array}{l}{f}^2\left(1\right)=-f^3\left(1\right)\\ 4f\left(1\right).f^{\text{'}}\left(1\right)=1+3f^2\left(1\right).f^{\text{'}}\left(1\right)\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}{f}^2\left(1\right)\left[f\left(1\right)+1\right]=0\\ 4f\left(1\right).f^{\text{'}}\left(1\right)=1+3f^2\left(1\right).f^{\text{'}}\left(1\right)\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}f\left(1\right)=-1\\ f^{\text{'}}\left(1\right)=\frac{-1}{7}\end{array}\right.\end{array}$

Vậy tiếp tuyến cần tìm là

$\begin{array}{l}y=f^{\text{'}}\left(1\right).\left(x-1\right)+f\left(1\right)\\ =-\frac{1}{7}\left(x-1\right)-1\\ \iff y=-\frac{1}{7}x-\frac{6}{7}\end{array}$