Tìm hệ số của x^4 trong khai triển nhị thức Newton (2x + 1/căn bậc 5 của x)^n với x > 0

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Ta có $A_n^5\le 18A_{n-2}^4\iff \left\{\begin{array}{l}n\ge 6\\ \frac{n!}{\left(n-5\right)!}\le 18.\frac{\left(n-2\right)!}{\left(n-6\right)!}\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}n\ge 6\\ \frac{n\left(n-1\right)}{n-5}\le 18\end{array}\iff 9\le n\le 10\to n=10.\right.\right.$ 

Với n = 10, xứt khai triển nhị thức

${\left(2x+\frac{1}{\sqrt[x]{x}}\right)}^{10}=\sum _{k=10}^{10}{C}_{10}^k.{\left(2x\right)}^{10-k}.{\left(\frac{1}{\sqrt[5]{x}}\right)}^x=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k.2^{10-k}.x^{10-\frac{6k}{5}}.$ 

Hệ số của $x^4$ ứng với $10-\frac{6k}{5}=4\iff k=5.$ Vậy hệ số cần tìm là $C_{10}^5.2^5=8064.$