Một sợi dây có chiều 6 mét, được cắt thành hai phần

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Cắt sợi dây 6 mét đã cho thành hai phần có độ dài lần luột là x mét và 6-x mét $\left(0<x<6\right)$ . Phần thứ nhất có độ dài x mét được uốn thành hình tam giác đều cạnh bằng $\frac{x}{3}$  mét. Phần thứ hai có độ dài 6-x mét được uốn thành hình vuông cạnh bằng $\frac{6-x}{4}$  mét.

Diện tích phần I là $S_1={\left(\frac{x}{3}\right)}^2.\frac{\sqrt{3}}{4}$$=\frac{x^2\sqrt{3}}{36}\left(m^2\right)$ .

Diện tích phần II là $S_2={\left(\frac{6-x}{4}\right)}^2\left(m^2\right)$ .

Tổng diện tích hai phần là $S\left(x\right)=S_1+S_2$$=\frac{x^2\sqrt{3}}{36}+{\left(\frac{6-x}{4}\right)}^2\left(m^2\right)$  với $x\in \left(0;6\right)$

Đạo hàm $S^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{x\sqrt{3}}{18}-\frac{6-x}{8};$$\hspace{0.17em}{S}^{\text{'}}\left(x\right)=0$$\iff x=\frac{54}{9+4\sqrt{3}}\in \left(0;6\right)$  . Lập bảng biến thiên của hàm số $S\left(x\right)$   trên khoảng $\left(0;6\right)$ , ta thấy $\min S\left(x\right)=S\left(\frac{54}{9+4\sqrt{3}}\right)$  .

Khi đó cạnh của tam giác đều bằng $\frac{18}{9+4\sqrt{3}}\left(m\right)$  .