Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Đạo hàm

$\begin{array}{l}{y}^{\text{'}}=3x^2-6mx=3x\left(x-2m\right);\\ y^{\text{'}}=0\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=2m\end{array}\right.\end{array}$

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B <=> Phương trình $y^{\text{'}}=0$  có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2\iff 2m\ne 0$$\iff m\ne 0$  .

Giả sử $A\left(0;3m^2\right)$  và $B\left(2m;3m^2-4m^3\right)$ . Phương trình đường thẳng AB là:

$\begin{array}{l}\frac{x-0}{2m-0}=\frac{y-3m^2}{3m^2-4m^3-3m^2}\\ \iff x=\frac{y-3m^2}{-2m^2}\\ \iff 2m^{2}x+y-3m^2=0\end{array}$

Lại có

$\begin{array}{l}AB=\sqrt{{\left(2m-0\right)}^2+{\left(3m^2-4m^3-3m^2\right)}^2}\\ =\sqrt{4m^2+16m^6}\\ =\left|2m\right|\sqrt{1+4m^4}\end{array}$

Suy ra

$\begin{array}{l}{S}_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}AB.d\left(O;AB\right)\\ =\frac{1}{2}.\left|2m\right|.\sqrt{1+4m^4}.\frac{\left|-3m^2\right|}{\sqrt{4m^4+1}}\\ =3\left|m\right|.m^2\end{array}$

(đvdt).

Yêu cầu bài toán $\iff S_{\Delta OAB}=24\iff 3{\left|m\right|}^3=24$$\iff \left|m\right|=2\iff m=\pm 2$  (thỏa mãn).