Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Mặt cầu  (S) có tâm $I\left(1;0;2\right)$ , bán kính R=3. Nhận xét thấy S, I, S’ thẳng hàng và $S{S}^{\text{'}}\perp \left(ABCD\right)$ . Khi đó $S{S}^{\text{'}}=2R=6$ . Ta có:

$V_{\left(H\right)}=V_{S.ABCD}+V_{S^{\text{'}}.ABCD}$$=\frac{1}{3}d\left(S;\left(ABCD\right)\right).S_{ABCD}$$+\frac{1}{3}d\left(S^{\text{'}};\left(ABCD\right)\right).S_{ABCD}$

$=\frac{1}{3}\left[d\left(S;\left(ABCD\right)\right)+d\left(S^{\text{'}};\left(ABCD\right)\right)\right].S_{ABCD}$$=\frac{1}{3}S{S}^{\text{'}}.S_{ABCD}=2S_{ABCD}$

Từ giả thiết suy ra ABCD là hình vuông, gọi a là cạnh hình vuông đó.

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng r và ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Suy ra $2r=AC=a\sqrt{2}$$\Rightarrow r=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ . Từ ${\left[d\left(I;\left(P\right)\right)\right]}^2+r^2=R^2$ .

$\iff r=\sqrt{R^2-{\left[d\left(I;\left(P\right)\right)\right]}^2}$$=\sqrt{3^2-{\left(\frac{8}{3}\right)}^2}$$=\frac{\sqrt{17}}{3}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$$\iff a=\frac{2\sqrt{17}}{3\sqrt{2}}$

Vậy $V_{\left(H\right)}=2S_{ABCD}=2a^2$$=2.{\left(\frac{2\sqrt{17}}{3\sqrt{2}}\right)}^2=\frac{68}{9}$ .