Tập giá trị của hàm số (cosx + 1)/(sinx + 1) trên [0;pi/2]

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{\cos x+1}{\sin x+1}$ trên $\left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$ có $f\text{'}\left(x\right)=\frac{-\sin x\left(\sin x+1\right)-\cos x\left(\cos x+1\right)}{{\left(\sin x+1\right)}^2}.$ 

Suy ra $f\text{'}\left(x\right)=-\frac{\sin x+\cos x+1}{{\left(\sin x+1\right)}^2}<0; \forall x\in \left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]\Rightarrow f\left(x\right)$ là hàm số nghịch biến trên  $\left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$.

Do đó $\underset{\left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]}{min}f\left(x\right)=f\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)=\frac{1}{2}; \underset{\left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]}{max}f\left(x\right)=f\left(0\right)=2.$ Vậy tập giá trị cần tìm là $\left[\frac{1}{2};2\right]$