Số các giá trị nguyên của tham số m thuộc [-2018;2018] để PT x^2 + (m + 2)x + 4 = (m - 1).căn (x^3 + 4x) có nghiệm là

* Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Điều kiện: $x\ge 0$. Dễ thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình.

Xét x > 0 chia cả 2 vế của phương trình cho x ta được: $\frac{x^2+4}{x}-\left(m-1\right)\sqrt{\frac{x^2+4}{x}}+m+2=0$  (*).

Đặt $t=\sqrt{\frac{x^2+4}{x}}\ge \sqrt{\frac{4x}{x}}=2\Rightarrow t\in [2;+\infty ),$ khi đó phương trình (*)$\iff t^2-\left(m-1\right)t+m+2=0$ 

Vì $t\ge 2\iff t-1\ne 0$ nên phương trình (*)$\iff t^2+t+2=m\left(t-1\right)\iff m=\frac{t^2+t+2}{t-1}.$ 

Xét hàm số $f\left(t\right)=\frac{t^2+t+2}{t-1}$ trên $[2;+\infty )$, có $f\text{'}\left(t\right)=\frac{t^2-2t-3}{{\left(t-1\right)}^2}$ suy ra $\underset{[2;+\infty )}{min}f\left(t\right)=7.$

Khi đó, để phương trình m = f(t) có nghiệm $\iff m\ge \underset{[2;+\infty )}{min}f\left(t\right)=7.$ 

Kết hợp với $m\in [-2018;2018]$ và $m\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ suy ra có tất cả 2012 giá trị nguyên m.