Lớp 12B có 25 học sinh được chia thành hai nhóm I và II sao

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Gọi x,y lần lượt là số học sinh nữ ở nhóm I và nhóm II. Khi đó số học sinh nam ở nhóm II là $25-\left(9+x\right)-y=16-x-y$  . Điều kiện để mỗi nhóm đều có học sinh nam và nữ là $x\ge \mathrm{1,}y\ge \mathrm{1,16}-x-y\ge 1;$$x,y\in \mathbb{N}$ .

Xác suất để chọn ra được hai học sinh nam bằng $\frac{C_9^1{C}_{16-x-y}^1}{C_{9+x}^1{C}_{16-x}^1}=\mathrm{0,54}$

$\begin{array}{l}\iff \frac{9\left(16-x-y\right)}{\left(9+x\right)\left(16-x\right)}=\mathrm{0,54}\\ \iff \frac{144-9x-9y}{144+7x-x^2}=\mathrm{0,54}\\ \iff y=\frac{184}{25}-\frac{71}{50}x+\frac{3}{50}{x}^2\end{array}$

Ta có hệ điều kiện sau $\left\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ \frac{184}{25}-\frac{71}{50}x+\frac{3}{50}{x}^2\ge 1\\ 16-x-\left(\frac{184}{25}-\frac{71}{50}x+\frac{3}{50}{x}^2\right)\ge 1\\ x\in \mathbb{N}\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ \frac{3}{50}{x}^2-\frac{71}{50}x+\frac{159}{25}\ge 0\\ -\frac{3}{50}{x}^2+\frac{21}{50}x+\frac{191}{25}\ge 0\\ x\in \mathbb{N}\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ \left[\begin{array}{l}x\ge \frac{53}{3}\\ x\le 6\end{array}\right.\\ \frac{21-5\sqrt{201}}{6}\le x\le \frac{21+5\sqrt{201}}{6}\\ x\in \mathbb{N}\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}1\le x\le 6\\ x\in \mathbb{N}\end{array}\right.\end{array}$

Ta có bảng các giá trị của :

Vậy ta tìm được hai cặp nghiệm nguyên $\left(x;y\right)$  thỏa mãn điều kiện là  $\left(1;6\right)$ và $\left(6;1\right)$  .

Xác suất để chọn ra hai học sinh nữ là $\frac{C_x^1{C}_y^1}{C_{9+x}^1{C}_{16-x}^1}$$=\frac{xy}{\left(9+x\right)\left(16-x\right)}$ .

Nếu $\left(x;y\right)\in \left\{\left(1;6\right),\left(6;1\right)\right\}$  thì xác suất này bằng $\frac{1}{25}=\mathrm{0,04}$ .