Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm bất kỳ thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Điều kiện:$x\ne -1$.

Ta có $y=\frac{x-1}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$

Gọi $A\left(x_1;1-\frac{2}{x_1+1}\right);B\left(x_2;1-\frac{2}{x_2+1}\right)$là các điểm thuộc đồ thị hàm số. Suy ra $A{B}^2={\left(x_1-x_2\right)}^2+{\left(\frac{2}{x_2+1}-\frac{2}{x_1+1}\right)}^2$

Giả sử A thuộc nhánh trái và B thuộc nhánh phải, khi đó $x_1<-1<x_2\iff \left\{\begin{array}{l}-1-x_1<0\\ x_2+1>0\end{array}\right.$

Đặt $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{t}_1=-1-x_1\Rightarrow t_1>0\\ t_2=x_2+1\Rightarrow t_2>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_1=-1-t_1\\ x_2=t_2-1\end{array}\right. \\ \iff x_1-x_2=-t_1-t_2. \end{gathered}$$

$\begin{array}{l}A{B}^2={\left(x_1-x_2\right)}^2+{\left(\frac{2}{x_2+1}-\frac{2}{x_1+1}\right)}^2\\ ={\left(t_1+t_2\right)}^2+{\left(\frac{2}{t_2}+\frac{2}{t_1}\right)}^2={t_1}^2+2t_1{t}_2+{t_2}^2+\frac{4}{{t_1}^2}+\frac{8}{t_1{t}_3}+\frac{4}{{t_2}^2}\\ =\left({t_1}^2+\frac{4}{{t_1}^2}\right)+\left({t_2}^2+\frac{4}{{t_2}^2}\right)+\left(2t_1{t}_2+\frac{8}{t_1{t}_2}\right).\end{array}$

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có $\left\{\begin{array}{l}\left({t_1}^2+\frac{4}{{t_1}^2}\right)\ge 2\sqrt{{t_1}^2.\frac{4}{{t_1}^2}}=4\\ \left({t_2}^2+\frac{4}{{t_2}^2}\right)\ge 2\sqrt{{t_2}^2.\frac{4}{{t_2}^2}}=4\\ 2t_1{t}_2+\frac{8}{t_1{t}_2}\ge 2\sqrt{2t_1{t}_2.\frac{8}{t_1{t}_2}}=8.\end{array}\right.$.

Vậy $A{B}^2\ge 4+4+8=16\Rightarrow AB\ge 4$