Tìm các họ nghiệm của phương trình sin^3x.sin3x+cos^3c.cos3x/tan(x-pi/6).tan(x+pi/3)=1/8

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: $x\ne \frac{\mathrm{\pi }}{6}+k\mathrm{\pi }\left(\mathrm{k}\in \mathrm{Z}\right)$

Ta có

$$\begin{gathered} \tan \left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)\tan \left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right) \\ =\tan \left(x-\frac{\mathrm{\pi }}{6}\right)cot\left(\frac{\mathrm{\pi }}{6}-x\right) \\ =-1 \end{gathered}$$

Phương trình đã cho tương đương với

$$\begin{gathered} \frac{{\sin }^3\left(x\right).\sin \left(3x\right)+{\cos }^3\left(x\right)\cos \left(3x\right)}{\tan \left(x-{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{6}}\right)\tan \left(x+{\displaystyle \frac{\mathrm{\pi }}{3}}\right)} \\ =\frac{1}{8} \\ =\frac{1-\cos \left(2x\right)}{x}.\frac{\cos \left(2x\right)-\cos \left(4x\right)}{2} \\ +\frac{1+\cos \left(2x\right)}{2}.\frac{\cos \left(2x\right)+\cos \left(4x\right)}{2} \\ =\frac{1}{8} \end{gathered}$$

Đối chiếu với điều kiện ban đầu ta chọn $x=-\frac{\mathrm{\pi }}{6}+k\mathrm{\pi }\left(\mathrm{k}\in \mathrm{Z}\right)$

Đáp án A