Cho hàm số y = f(x) = (e^ax - e^3x)/2x khi x khác 0 và 1/2 khi x = 0. Tìm giá trị của a để hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{ax}-e^{3x}}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{ax}-1-e^{3x}+1}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{ax}-1}{2x}-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{3x}-1}{2x}=\frac{a-3}{2}$

Chú ý giới hạn đặc biệt sau: $\underset{u\to 0}{\lim }\frac{e^u-1}{u}=1.$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{ax}-1}{ax}=1\iff \underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{ax}-1}{2x}=\frac{a}{2}$ và $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{3x}-1}{3x}=1\iff \underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{3x}-1}{2x}=\frac{3}{2}$ 

Do đó  $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{ax}-e^{3x}}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{ax}-1-e^{3x}+1}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{ax}-1}{2x}-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{3x}-1}{2x}=\frac{a-3}{2}$

Mà hàm số liên tục tại $x=0\Rightarrow \underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)\iff \frac{a-3}{2}=\frac{1}{2}\iff a=4.$