Cho 2 số phức z1 và z2 thỏa mãn: |z1 - 5 - i| = 3, |z2 + 5 - 2i| = |iz2 -3|

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Đặt ${\mathrm{z}}_1={\mathrm{x}}_1+{\mathrm{y}}_1\mathrm{i},\left({\mathrm{x}}_1;{\mathrm{y}}_1\in \mathrm{ℝ}\right)$. Số phức ${\mathrm{z}}_1$ được biểu diễn bởi điểm $\mathrm{M}\left({\mathrm{x}}_1;{\mathrm{y}}_1\right)$.

Đặt ${\mathrm{z}}_2={\mathrm{x}}_2+{\mathrm{y}}_2\mathrm{i},\left({\mathrm{x}}_2;{\mathrm{y}}_2\in \mathrm{ℝ}\right)$. Số phức ${\mathrm{z}}_2$ được biểu diễn bởi điểm $\mathrm{N}\left({\mathrm{x}}_2;{\mathrm{y}}_2\right)$.

Suy ra: $\left|{\mathrm{z}}_1-{\mathrm{z}}_2\right|=\mathrm{MN}$.

Em có: $\left|{\mathrm{z}}_1-5-\mathrm{i}\right|=3\iff \left|\left({\mathrm{x}}_1-5\right)+\left({\mathrm{y}}_1-1\right)\mathrm{i}\right|=3\iff {\left({\mathrm{x}}_1-5\right)}^2+{\left({\mathrm{y}}_1-1\right)}^2=9.$

Vậy điểm M thuộc đường tròn $\left(\mathrm{C}\right):{\left(\mathrm{x}-5\right)}^2+{\left(\mathrm{y}-1\right)}^2=9$, có tâm là điểm I(5;1), bán kính R = 3.

Vậy điểm N thuộc đường thẳng d: x - y +2 = 0.

Dễ thấy đường thẳng d và đường tròn C không cắt nhau.

Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho bộ ba điểm I, M, N em có:

$\mathrm{MN}\ge \left|\mathrm{IM}-\mathrm{IN}\right|=\left|\mathrm{IN}-\mathrm{R}\right|\ge \left|\mathrm{d}\left(\mathrm{I};\mathrm{d}\right)-\mathrm{R}\right|=\left|\frac{5-1+2}{\sqrt{2}}-3\right|=-3+3\sqrt{2}$

Dấu “=” bằng xảy ra khi và chỉ khi I, M, N thẳng hàng và N là hình chiếu của I trên đường thẳng d.

Vậy ${\left|{\mathrm{z}}_1-{\mathrm{z}}_2\right|}_{\min }=-3+3\sqrt{2}$.