Tìm n thuộc N* sao cho C n và 1+3C n và 2 + 7Cn và 3 +..+(2^n-1)

* Hướng dẫn giải

Ta có

$$\begin{gathered} {\left(1+x\right)}^n=C_n^0+C_n^{1}x+C_n^2{x}^2 \\ +C_n^3{x}^3+...+C_n^n{x}^n \end{gathered}$$

Lấy đạo hàm hai vế, ta được

$$\begin{gathered} n{\left(1+x\right)}^{n-1}=C_n^1+2C_n^{2}x \\ +3C_n^3{x}^2+...+n{C}_n^n{x}^{n-1} \end{gathered}$$

Lấy tích phân hai vế, ta được:

$$\begin{gathered} n{\int }_1^2{\left(1+x\right)}^{n-1}dx \\ =C_n^1{\int }_1^{2}dx+2C_n^2{\int }_1^{2}xdx \\ +3C_n^3{\int }_1^2{x}^{2}dx \\ +...+n{C}_n^n{\int }_1^2{x}^{n-1}dx \end{gathered}$$

Tính toán các tích phân trên, ta được:

$$\begin{gathered} C_n^1+3C_n^2+7C_n^3+...+ \\ \left(2^n-1\right)C_n^n=3^n-2^n \end{gathered}$$

Theo đề ta có: 

$$\begin{gathered} 3^n-2^n=3^{2n}-2^n-6480 \\ \iff 3^{2n}-3^n-6480=0 \end{gathered}$$

Giải phương trình mũ này ta tìm được n = 4. Vậy n = 4 là nghiệm của phương trình đã cho

Đáp án A