Cho hàm số y = ( 2x + 1)/ ( x + 1) ( C) gọi I là tâm đối xứng của đồ thị

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Điểm $M\in \left(C\right)\Rightarrow M\left(a;\frac{2a+1}{a+1}\right)\Rightarrow y\text{'}\left(a\right)=\frac{1}{{\left(a+1\right)}^2}$

và $y\left(a\right)=\frac{2a+1}{a+1}.$

Suy ra phương trình tiếp tuyến của ( C) tại M là

$$\begin{gathered} y=\frac{2a+1}{a+1}=\frac{1}{{\left(a+1\right)}^2}\left(x-a\right) \\ \iff y=\frac{x}{{\left(a+1\right)}^2}+\frac{2a^2+2a+1}{{\left(a+1\right)}^2}\left(d\right). \end{gathered}$$

Đường thẳng ( d ) cắt tiệm cận đứng tại

$A\left(-1;\frac{2a}{a+1}\right)\Rightarrow IA=\frac{2}{\left|a+1\right|}.$

Đường thẳng ( d ) cắt tiệm cận ngang tại

$B\left(2a+1;2\right)\Rightarrow IB=2\left|a+1\right|.$

Suy ra $IA.IB=4$  và tam giác IAB vuông tại I

$\Rightarrow S_{\Delta IAB}=\frac{1}{2}.IA.IB=2$

Mà $S_{\Delta IAB}=\frac{IA+IB+IC}{2}xr\Rightarrow r_{m\text{ax}}$

khi và chỉ khi ${\left\{IA+IB+IC\right\}}_{\min }$

Ta có

$$\begin{gathered} IA+IB+IC=IA+IB+\sqrt{I{A}^2+I{B}^2} \\ \ge 2\sqrt{IA.IB}+\sqrt{2}IA.IB=4+4\sqrt{2}. \end{gathered}$$

Dấu “=” xảy ra

$$\begin{gathered} \iff \frac{2}{\left|a+1\right|}=2\left|a+1\right|\iff {\left(a+1\right)}^2=1 \\ \iff \left[\begin{array}{l}a=0\Rightarrow b=1\\ a=-2\Rightarrow b=3\end{array}\right.\Rightarrow a+b=1. \end{gathered}$$