Tìm tập hợp các giá trị thực của m sao cho bất phương trình log2 x + m > và bằng 1/2 x

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Bất phương trình

${\log }_{2}x+m\ge \frac{1}{2}{x}^2\iff m\ge \frac{1}{2}{x}^2-{\log }_{2}x\left(*\right).$

Xét hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2-{\log }_{2}x$ với $x\in \left[1;3\right],$

ta có $f\text{'}\left(x\right)=x-\frac{1}{x.\ln 2}=\frac{x^2.\ln 2-1}{x.\ln 2}.$

Phương trình

$f\text{'}\left(x\right)=0\iff x^2.\ln 2-1=0\iff x^2=\frac{1}{\ln 2}\iff x=\frac{1}{\sqrt{\ln 2}}.$

Tính các giá trị

$f\left(1\right)=\frac{1}{2};f\left(\frac{1}{\sqrt{\ln 2}}\right)=\frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{2}{\log }_2\left(\ln 2\right);f\left(3\right)=\frac{9}{2}-{\log }_{2}3.$

Dựa vào BBT, suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) là

$f\left(\frac{1}{\sqrt{\ln 2}}\right)=\frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{2}{\log }_2\left(\ln 2\right).$

Khi đó, bất phương trình (*) có nghiệm

$x\in \left[1;3\right]\iff m\ge \frac{1}{2\ln 2}+\frac{1}{2}{\log }_2\left(\ln 2\right).$