Một bạn học sinh cắt lấy tờ giấy hình tròn (có bán kính R) rồi cắt một phần

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có $x=k.R$ là chu vi đường tròn đáy của khối nón $\Rightarrow k.R=2\pi r\Rightarrow r=\frac{k.R}{2\pi }$

Độ dài đường sinh của khối nón chính là bán kính $R\Rightarrow l=R=\sqrt{r^2+h^2}\Rightarrow h=\sqrt{R^2-r^2}$

Thể tích của khối nón là:

$$\begin{gathered} V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi .r^2.\sqrt{R^2-r^2} \\ \iff V^2=\frac{{\pi }^2}{9}.r^4.\left(R^2-r^2\right).\left(1\right) \end{gathered}$$

Theo bất đẳng thức Cosi, ta được $r^2.\left(R^2-r^2\right)=4.\frac{r^2}{2}.\frac{r^2}{2}.\left(R^2-r^2\right)\le \frac{4R^6}{27}\left(2\right)$

Từ (1), (2) suy ra:

$$\begin{gathered} V=\frac{\pi 2}{9}.\frac{4R^6}{27}=\frac{4{\pi }^2}{243}{R}^6 \\ \Rightarrow V\le \frac{2\pi }{9\sqrt{3}}{R}^3 \end{gathered}$$

Dấu “=” xảy ra khi:

$$\begin{gathered} \iff \frac{r^2}{2}=R^2-r^2 \\ \iff R^2=\frac{3}{2}{r}^2=\frac{3}{2}.\frac{k^2{R}^2}{4{\pi }^2} \\ \Rightarrow k^2=\frac{8{\pi }^2}{3}\Rightarrow k\simeq 5,13 \end{gathered}$$