Một hình vuông ABCD có cạnh AB =a , diện tích S1 Nối 4 trung điểm

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Diện tích hình vuông $ABCD$ là $S_1=a^2$; diện tích hình vuông $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ là $S_2={\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{2}$

Diện tích hình vuông $A_2{B}_2{C}_2{D}_2$ là ${\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{4};\mathrm{...}$

Diện tích hình vuông $A_{99}{B}_{99}{C}_{99}{D}_{99}$ là $S_{100}=\frac{a^2}{2^{99}}$

Vậy $S=a^2\left(\underset{T}{\underbrace{\frac{1}{2^0}+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\mathrm{...}+\frac{1}{2^{99}}}}\right)$

với T là tổng của CSN có $u_1=1;q=\frac{1}{2}$ và $n=100$

Do đó, tổng:

$$\begin{gathered} S=a^2.\frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{100}}{1-\frac{1}{2}} \\ =2a^2\left(1-\frac{1}{2^{100}}\right)=\frac{a^2\left(2^{100}-1\right)}{2^{99}} \end{gathered}$$