Cho m thuộc [0;2] biểu thức I = tích phân 0->pi/2 trị tuyệt đối (x-m)dx nhỏ nhất

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

$\begin{array}{l}I=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left|x-m\right|dx=\underset{0}{\overset{m}{\int }}\left|x-m\right|dx+\underset{m}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left|x-m\right|dx\\ =\underset{0}{\overset{m}{\int }}\left(x-m\right)dx+\underset{m}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(x-m\right)dx\\ ={\left.\left(mx-\frac{x^2}{2}\right)\right|}_0^m+{\left.\left(mx-\frac{x^2}{2}\right)\right|}_m^{\frac{\pi }{2}}\\ =\left(m^2-\frac{m^2}{2}\right)+\left(\frac{{\pi }^2}{8}-\frac{m\pi }{2}\right)-\left(\frac{m^2}{2}-m^2\right)\\ =m^2-\frac{m}{2}\pi +\frac{{\pi }^2}{8}={\left(m-\frac{\pi }{4}\right)}^2+\frac{{\pi }^2}{16}\ge \frac{{\pi }^2}{16}\end{array}$