Cho hàm số y =x^3 -mx^2 +3x +1 và M(1;-2). Biết có 2 giá trị của m là m1

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là

$\begin{array}{l}{x}^3-m{x}^2+3x+1=x+1\\ \iff x^3-m{x}^2+2x=0\\ \iff x\left(x^2-mx+2=0\right)=0\\ \iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x^2-mx+2=0=0\left(*\right)\end{array}\right.\end{array}$

Để (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt $\iff \left(*\right)$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0 $\iff \left[\begin{array}{l}m>2\sqrt{2}\\ m<-2\sqrt{2}\end{array}\right.$

Gọi $A\left(0;1\right), B\left(x_1;y_1\right), C\left(x_2;y_2\right)$ là tọa độ giao điểm của (C) và d

Với $x_1;x_2$ là nghiệm phương trình $\left(*\right),$ suy ra $\left\{\begin{array}{l}x+x_2=m\\ x_1.x_2=2\end{array}\right.\Rightarrow {\left(x_1-x_2\right)}^2=m^2-8$

Khoảng cách từ M đến BC là:

$$\begin{gathered} d\left(M;\Delta \right)=\frac{4}{\sqrt{2}} \\ \Rightarrow S_{MBC}=\frac{1}{2}d\left(M;\Delta \right).BC=4\sqrt{2} \\ \Rightarrow BC=4 \end{gathered}$$

Mà:

$$\begin{gathered} BC={\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2 \\ =2{\left(x_2-x_1\right)}^2=2m^2-16 \\ \Rightarrow 2m^2-16=16\Rightarrow m=\pm 4 \end{gathered}$$

Vậy $m_1^2+m_2^2=4^2+{\left(-4\right)}^2=32\in \left(31;33\right)$