Cho mặt cầu (S) có bán kính R không đổi, hình nón (H) bất kỳ nội tiếp mặt

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Kí hiệu như hình vẽ bên

Chuẩn hóa $R=1$ và gọi r,h lầm lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón

$\Rightarrow$Thể tích khối nón là $V_1=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$

Tam giác AMK vuông tại K, có:

$$\begin{gathered} I{K}^2=IM.IA \\ \iff r^2=h\left(2R-h\right)=h\left(2-h\right) \end{gathered}$$

Để $\frac{V_1}{V_2}$ lớn nhất $\iff \frac{V_2}{V_1}=\frac{V_C-V_1}{V_1}=\frac{V_C}{V_1}-1$ nhỏ nhất $\iff V_1$ đạt giá trị lớn nhất

Khi đó $V_1=\frac{\pi }{3}{h}^2\left(2-h\right)\le \frac{\pi }{3}.\frac{32}{27}=\frac{32\pi }{81}$ (khảo sát hàm số $f\left(h\right)=2h^2-h^3)$)

Vậy tỉ số:

$$\begin{gathered} \frac{V_1}{V_2}=1:\left(\frac{V_C}{V_1}-1\right) \\ =1:\left(\frac{4\pi }{3}:\frac{32\pi }{81}-1\right)=\frac{8}{19} \end{gathered}$$