Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng a. Lấy điểm M thuộc đoạn

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Kẻ:

$$\begin{gathered} MH\perp AD\Rightarrow MH=AH=\frac{x\sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow HD=a-\frac{x\sqrt{2}}{2} \end{gathered}$$

Tam giác HND có

$H{N}^2=D{N}^2-2DN.HD.co{s}^2\widehat{NDH}$

$$\begin{gathered} ={\left(a-\frac{x\sqrt{2}}{2}\right)}^2+x^2-\sqrt{2}x\left(a-\frac{x\sqrt{2}}{2}\right) \\ =\frac{5}{2}{x}^2-2\sqrt{2}ax+a^2 \end{gathered}$$

Vì:

$$\begin{gathered} MH\perp AD\Rightarrow MH//AA\text{'} \\ \Rightarrow MH\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow MH\perp HN \end{gathered}$$

Tam giác MHN vuông tại H, có $M{N}^2=M{H}^2+H{N}^2$

$\begin{array}{l}={\left(\frac{x\sqrt{2}}{2}\right)}^2+\frac{5}{2}{x}^2-2\sqrt{2}ax+a^2\\ =3x^2-2\sqrt{2}ax+a^2\\ =\frac{1}{3}{\left(x-\frac{a\sqrt{2}}{3}\right)}^2+\frac{a^2}{3}\ge \frac{a^2}{3}\\ \Rightarrow MN\ge \frac{a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow M{N}_{\min }=\frac{a\sqrt{3}}{3}\end{array}$

Dấu “=” xảy ra khi $x=\frac{a\sqrt{2}}{3}$