Cho số thực x, y thỏa mãn x^2 +y^2 +xy =4(y -1) +3x. Tìm giá trị lớn nhất

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

$GT\iff \left\{\begin{array}{l}{x}^2+\left(y-3\right)x+y^2-4y+4=0\\ y^2+\left(x-4\right)y+x^2-3x+4=0\end{array}\right.$

có nghiệm $\iff \left\{\begin{array}{l}{\Delta }_x\ge 0\\ {\Delta }_y\ge 0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}0\le x\le \frac{4}{3}\\ 1\le y\le \frac{7}{3}\end{array}\right.$

Và:

$$\begin{gathered} xy=3x+4y-x^2-y^2-4 \\ \Rightarrow P=\underset{f\left(x\right)}{\underbrace{3x^3+18x^2+45x-8}}+\underset{g\left(y\right)}{\underbrace{-3y^3+3y^2+8y}} \end{gathered}$$

 Xét hàm số $f\left(x\right)=3x^3+18x^2+45x-8$ trên $\left[0;\frac{4}{3}\right]\Rightarrow \underset{\left[0;\frac{4}{3}\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{820}{9}$

Xét hàm số $g\left(x\right)=-3y^3+3y^2+8y$ trên $\left[1;\frac{7}{3}\right]\Rightarrow \underset{\left[1;\frac{7}{3}\right]}{\max }g\left(x\right)=f\left(\frac{4}{3}\right)=\frac{80}{9}$

Vật $P\le \underset{\left[0;\frac{4}{3}\right]}{\max }f\left(x\right)+\underset{\left[1;\frac{7}{3}\right]}{\max }g\left(x\right)=100$

Dấu “=” xảy ra khi $x=y=\frac{4}{3}$