Diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường trọn lương giác

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Điều kiện  $\left\{\begin{array}{l}\cos x\ne 0\\ \cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\ne 0\end{array}\right.$

$\begin{array}{l}\tan x+\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1\\ \iff \tan x+\frac{\tan x+1}{1-\tan x}-1=0\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff \frac{-{\tan }^{3}x+3\tan x}{1-\tan x}=0\\ \iff \left\{\begin{array}{l}\tan x\ne 1\\ \tan x\left(3-\tan x\right)=0\end{array}\right.\\ \iff \left[\begin{array}{l}\tan x=0\\ \tan x=3\end{array}\right.\end{array}$

Ta có biểu thị các họ nghiệm của phương trình trẻn đường trọn lượn giác như hình bên.

Vậy đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các họ nghiệm của phương trình $\tan x+\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1$  là tứ giác $AMA\text{'}M\text{'}$   .

Cách 1: Đường thẳng  có phương trình $y=3x\iff 3x-y=0$  .Khoảng cách từ điểm $A\left(1;0\right)$  đến $MM\text{'}$ là $\left|\frac{3.1-0}{\sqrt{3^2+1^2}}\right|=\frac{3}{\sqrt{10}}$ . Do đó diện tích tứ giác $AMA\text{'}M\text{'}$  là 

$\begin{array}{l}{S}_{AMA\text{'}M\text{'}}=2S_{AMM\text{'}}\\ =2.\frac{1}{2}.MM\text{'}.d\left(A,MM\text{'}\right)\\ =2.\frac{3}{\sqrt{10}}\approx \mathrm{2.0,949}\end{array}$

Cách 2: Ta có  $\sin \widehat{MOA}=\frac{3}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{3}{\sqrt{10}}$

 $\begin{array}{l}\Rightarrow S_{AMA\text{'}M\text{'}}=4.S_{MOA}\\ =4.\frac{1}{2}.OM.OA.\sin \widehat{MOA}\\ =2.\frac{3}{\sqrt{10}}\approx \mathrm{2.0,949}\end{array}$

Ta chọn D, do chỉ có 0,949 gần 2.0,949 nhất.