Tìm số các giá trị nguyên âm của tham số m sao cho hàm số đồng biến

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Ta có $y\text{'}=m{x}^2-\left(3m+2\right)x+5m-1$

Để hàm số đồng biến trên khoảng  $\left(-1;2\right)$ thì  $y\text{'}\ge \mathrm{0,}\forall x\in \left(-1;2\right)$ .Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm

Cách 1:

Do ta chỉ xét giá trị m nguyên âm nên $m{x}^2-\left(3m+2\right)x+5m-1=0$ là phương trình bậc hai. Đặt  $f\left(x\right)=m{x}^2-\left(3m+2\right)x+5m-1$

TH1: Hàm số có hai điểm cực trị

Để thỏa mãn  $y\text{'}\ge \mathrm{0,}\forall x\in \left(0;2\right)$ thì phương trình  $y\text{'}=0$ có hai nghiệm $x_1$  ; $x_2$  thỏa mãn $x_1\le -1<2\le x_2$ 

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}m.f\left(-1\right)\le 0\\ m.f\left(2\right)\le 0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}m.\left(m+\left(3m+2\right)+5m-1\right)\le 0\\ m.\left[4m-2\left(3m+2\right)+5m-1\right]\le 0\end{array}\right.\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}m\left(9m+1\right)\le 0\\ m\left(3m-5\right)\le 0\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}m\ge -\frac{1}{9}\\ m\ge \frac{5}{3}\end{array}\right.\iff m\ge \frac{5}{3}\end{array}$

(do m nguyên âm nên không thỏa mãn)

TH2: Hàm số không có điểm cực trị

Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thi $\left\{\begin{array}{l}\Delta <0\\ m>0\end{array}\right.$ (do m nguyên âm nên không thỏa mãn)

Vậy ta chọn B.

Cách 2:

$\begin{array}{l}y\text{'}\ge 0\\ \iff m{x}^2-\left(3m+2\right)x+5m-1\ge 0\\ \iff m\left(x^2-3x+5\right)\ge 2x+1\\ \iff m\ge \frac{2x+1}{x^2-3x+5}\end{array}$

(do $x^2-3x+5>0\forall x$ )

Đặt $g\left(x\right)=\frac{2x+1}{x^2-3x+5}$ . Ta có $g\text{'}\left(x\right)=\frac{-2x^2-2x+13}{{\left(x^2-3x+5\right)}^2}>0$ $\forall x\in \left(-1;2\right)$ . Vậy $g\left(x\right)$  đồng biến trên $\left(-1;2\right)$

Để $m\ge g\left(x\right)\forall x\in \left(-1;2\right)$  thì  $m\ge \underset{x\in \left(-1;2\right)}{\text{max}}g\left(x\right)=g\left(2\right)=\frac{5}{3}$