Cho số phức z thỏa mô đun (z +2 -i)/( z ngang +1 -i) = căn 2. Tính mô đun z min

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Giả thiết:

$$\begin{gathered} \left|\frac{z+2-i}{\overline{z}+1-i}\right|=\sqrt{2} \\ \iff \left|z+2-i\right|=\sqrt{2}\left|\overline{z}+1-i\right| \\ \iff \left|z+2-i\right|=\left|1+i\right|\left|\overline{z}+1-i\right| \\ \iff \left|z+2-i\right|=\left(1+i\right)\overline{z}+\left(1+i\right)\left(1-i\right) \\ =\left|\left(1+i\right)\overline{z}+2\right|\left(*\right) \end{gathered}$$

Đặt $z=x+yi\left(x;y\in ℝ\right)\Rightarrow \overline{z}=x-yi,$

khi đó $\left(*\right)\iff \left|x+2+\left(y-1\right)i\right|=\left|\left(1+i\right)\left(x-yi\right)+2\right|$

$\begin{array}{l}\iff \left|x+2+\left(y-1\right)i\right|=\left|x+y+2+\left(x-y\right)i\right|\\ \iff \sqrt{{\left(x+2\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2}=\sqrt{{\left(x+y+2\right)}^2+{\left(x-y\right)}^2}\\ \iff x^2+y^2+4x-2y+5=2x^2+2y^2+4x+4y+4\\ \iff x^2+y^2+6y-1=0\\ \iff x^2+{\left(y+3\right)}^2=10\end{array}$

$\Rightarrow$Do đó tập hợp điểm biễu diễn z là đường tròn tâm $I\left(0;-3\right),$ bán kính $R=\sqrt{10}$

$$\begin{gathered} \left|z\right|=OM\Rightarrow O{M}_{\min }=OI-R \\ =\sqrt{0^2+3^2}-\sqrt{10}=3-\sqrt{10} \end{gathered}$$