Cho một đồng hồ cát như hình bên dưới (gồm 2 hình nón chung đỉnh ghép

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Gọi $r,h,r\text{'},h\text{'}$ lần lượt là bán kính và chiều cao của hình nón lớn và nhỏ

Phân tích dữ kiện

+) Chiều cao của đồng hồ là 30 cm $\iff h+h\text{'}=30\left(cm\right)$

+) Tổng thể tích của đồng hồ là $1000\pi c{m}^3$

$$\begin{gathered} \iff V_l+V_n=\frac{\pi r^{2}h+\pi r{\text{'}}^{2}h\text{'}}{3}=1000\pi \\ \iff r^{2}h+r{\text{'}}^{2}h\text{'}=3000 \end{gathered}$$

+) Đường sinh bất kỳ của hình nón tạo với đáy một góc $60°\iff \frac{h}{r}=\frac{h\text{'}}{r\text{'}}=\sqrt{3}$

Ta có hệ:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}h+h\text{'}=\sqrt{3}\left(r+r\text{'}\right)\\ r^{2}h+r{\text{'}}^{2}h\text{'}=\sqrt{3}\left(r^3+r{\text{'}}^3\right)=3000\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}{\left(r+r\text{'}\right)}^3=9000\\ \sqrt{3}\left(r^3+r{\text{'}}^3\right)=3000\end{array}\right. \\ \iff \frac{{\left(r+r\text{'}\right)}^3}{r^3+r{\text{'}}^3}=3 \end{gathered}$$

$\iff 2r{\text{'}}^2-5rr\text{'}+2r^2=0\iff \frac{r}{r\text{'}}=\frac{1}{2}$

vì $0<r\text{'}<r$

Theo đó tỉ lệ cần tính là:

$\frac{V_n}{V_l}=\frac{r{\text{'}}^{2}h\text{'}}{r^{2}h}={\left(\frac{r\text{'}}{r}\right)}^3=\frac{1}{8}$