Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số y=x^4-2mx^2+m-1 có ba điểm cực trị

* Hướng dẫn giải

Tập xác định: D = R

Đạo hàm 

$$\begin{gathered} y\text{'}=4x^3-4mx=4x\left(x^2-m\right) \\ y\text{'}=0\iff \left\{\begin{array}{l}x=0\\ x^2=m\end{array}\right. \end{gathered}$$

Hàm số có 3 cực trị Û phương trình y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi x đi qua các nghiệm đó .

Cách 1

Giả sử 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số là: A ( 0; m - 1 ); $B\left(-\sqrt{m};-m^2+m-1\right)$; $C\left(\sqrt{m};-m^2+m-1\right)$

Vì $A\in Oy$ và B, C đối xứng nhau qua Oy nên $∆ABC$ cân tại A

$$\begin{gathered} S_{∆ABC}=\frac{1}{2}\left|y_B-y_A\right|\left|x_C-x_B\right| \\ =m^2\sqrt{m} \\ AB=AC=\sqrt{m^2+m} \\ BC=2m \end{gathered}$$

Theo đề: 

$$\begin{gathered} R=\frac{AB.AC.BC}{4S_{∆ABC}}=1 \\ \iff \frac{\left(m^4+m\right)2\sqrt{m}}{4m^2\sqrt{m}}=1 \\ \iff m^3-2m+1=0 \\ \iff \left(m-1\right)\left(m^2+m-1\right)=0 \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m-1=0\\ m^2+m-1=0\end{array}\right. \\ \iff \left\{\begin{array}{l}m=1\\ m=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}\end{array}\right. \end{gathered}$$

So với điều kiện m > 0 ta suy ra $\left\{\begin{array}{l}m=1\\ m=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\end{array}\right.$

Đáp án A