Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y + z +1 =0

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Xét mặt phẳng $\left(P\right):x+y+z+1=0.$

Đặt $f\left(x;y;z\right)=x+y+z+1$

Ta có $f\left(A\right)=-1;f\left(B\right)=-2$ suy ra $f\left(A\right).f\left(B\right)>0\Rightarrow A,B$ cùng phía so với $\left(P\right)$

Gọi C là điểm đối xứng của A qua mặt phẳng $\left(P\right)\Rightarrow AC\perp \left(P\right)$

Phương trình đường thẳng AC có $\overrightarrow{u}=\left(1;1;1\right)$ và đi qua A là $\frac{x-1}{1}=\frac{y+3}{1}=\frac{z}{1}$

Điểm:

$$\begin{gathered} C\in AC\Rightarrow C\left(t+1;t-3;t\right)\in \left(P\right) \\ \Rightarrow t+1+t-3+t+1=0 \\ \iff t=\frac{1}{3}\Rightarrow C\left(\frac{4}{3};-\frac{8}{3};\frac{1}{3}\right) \end{gathered}$$

Lại có

$$\begin{gathered} AM+BM=CM+BM \\ \Rightarrow {\left\{CM+BM\right\}}_{\min }\iff B,C.M thẳng hàng \end{gathered}$$

Phương trình đường thẳng BC là $\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{11}=\frac{z+6}{-19}$

Điểm:

$M\in BC\Rightarrow M\left(2m+2;11m+1;-19m-6\right)$

Mặt khác:

$$\begin{gathered} M=BC\cap \left(P\right) \\ \Rightarrow 2m+2+11m+1-19m-6+1=0 \\ \iff m=-\frac{1}{3} \end{gathered}$$