Xét các số thực a, b thỏa mãn a> và bằng b > 1 Biết rằng biểu thức

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Đặt $0<t={\log }_{a}b\le 1$

$$\begin{gathered} \Rightarrow P={\log }_{a}ab+\sqrt{{\log }_{a}a+{\log }_{a}b} \\ =1+t+\sqrt{1-t}=f\left(t\right) \end{gathered}$$

$f\text{'}\left(t\right)=1-\frac{1}{2\sqrt{1-t}}\to f\text{'}\left(t\right)=0$

$\iff t=\frac{3}{4}\Rightarrow f\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{9}{4}.$

Dựa vào bảng biến thiên,

suy ra $\underset{0<t\le 1}{f\left(t\right)}\le f\left(\frac{3}{4}\right)$ 

Khi đó $t=\frac{3}{4}={\log }_{a}b$

$\iff a^{\frac{3}{4}}=b\iff k=\frac{3}{4}$