Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d có phương

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Đường thẳng d đi qua các điểm $M\left(3;1;0\right)$ và  $N\left(4;2;2\right)$

Xét mặt phẳng (P) có phương trình  $Ax+By+Cz+D=0$

(P) đi qua d khi và chỉ khi (P) đi qua M và N

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}3A+B+D=0\\ 4A+2B+2C+D=0\end{array}\right.\\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}C=-\frac{A+B}{2}\\ D=-3A-B\end{array}\right.\end{array}$

Phương trình (P) trở thành

$Ax+By-\frac{A+B}{2}x-3A-B=0$

$\iff 2Ax+2By-\left(A+B\right)z$$-6A-2B=0$

Mặt cầu (S) có tâm $I\left(-1;1;-1\right)$ và bán kính $R=2$ .

Giao tuyến của (P) và (S) là đường tròn có bán kính r=1. Suy ra  khoảng cách từ (I) đến (P) là $d=\sqrt{R^2-r^2}$$=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$

Từ đó ta có

$\begin{array}{l}\frac{\left|-2A+2B+A+B-6A-2B\right|}{\sqrt{4A^2+4B^2+{\left(A+B\right)}^2}}\\ \iff {\left(-7A+B\right)}^2=3\left(5A^2+5B^2+2AB\right)\end{array}$

$\begin{array}{l}\iff 34A^2-20AB-14B^2=0\\ \Rightarrow 34{\left(\frac{A}{B}\right)}^2-20\frac{A}{B}-14=0\\ \Rightarrow \frac{A}{B}=1\end{array}$

 hoặc $\frac{A}{B}=\frac{-7}{17}$

Với $\frac{A}{B}=1\Rightarrow B=A$ ta có phương trình (P)

$\begin{array}{l}2Ax+2Ay-2Az-8A=0\\ \iff x+y-z-4=0\end{array}$ 

Với $\frac{A}{B}=\frac{-7}{17}$ : Chọn $A=-\mathrm{7,}B=17$  ta có phương trình (Q): $7x-17y+5z-4=0$

Gọi $\alpha$  là góc giữa (P) và (Q). Ta có $\cos \alpha =\frac{\left|1.7+1.\left(-17\right)-1.5\right|}{\sqrt{1+1+1}.\sqrt{49+289+25}}$$=\frac{5}{11}$  . Ta chọn đáp án A