Cho hai chất điểm A và B cùng bắt đầu chuyển động trên trục

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Cách 1: Ta có  $f\text{'}\left(t\right)=2-t;$$g\text{'}\left(t\right)=4\cos t$

Vẽ đồ thị hàm số   $y=f\text{'}\left(t\right)$ và $y=g\text{'}\left(t\right)$  ta có

Nhìn vào đồ thị ta thấy $\left\{\begin{array}{l}0<t_1<t_2\\ f\text{'}\left(t_1\right)>0\\ f\text{'}\left(t_2\right)<0\\ f\left(2\right)=0\end{array}\right.$ và $\left\{\begin{array}{l}f\left(2\right)=-6+4-2=-4\\ f\left(t_1\right)=-6+2t_1-\frac{1}{2}{t_1}^2\\ f\left(t_2\right)=-6+2t_2-\frac{1}{2}{t_2}^2\end{array}\right.$

$\Rightarrow s=f\left(2\right)-f\left(t_1\right)+f\left(2\right)-f\left(t_2\right)$$=-4-\left(-6+2t_1-\frac{1}{2}{t}_1^2\right)$$+\left(-4\right)-\left(-6+2t_2-\frac{1}{2}{t}_2^2\right)$

$=4+\frac{1}{2}\left(t_1^2+t_2^2\right)-2\left(t_1+t_2\right)$

Sử dụng tích phân

Từ cách 1 ta có hai chất điểm gặp nhau khi $2-t=4\cos t$$\iff \left\{\begin{array}{l}{t}_1=A\\ t_2=B\end{array}\right.$

Từ hình vẽ ở cách 1 ta có $A<2<B$

Quãng đường đi được từ thời điểm A đến thời điểm B được tính bằng công thức

$\begin{array}{l}\underset{A}{\overset{B}{\int }}\left|2-t\right|dt\\ =\underset{A}{\overset{2}{\int }}\left|2-t\right|dt+\underset{2}{\overset{B}{\int }}\left|2-t\right|dt\\ =\underset{A}{\overset{2}{\int }}\left(2-t\right)dt+\underset{2}{\overset{B}{\int }}\left(t-2\right)dt\end{array}$

$=\left(2t-\frac{t^2}{2}\right)\left|\begin{array}{l}2\\ A\end{array}\right.+\left(\frac{t^2}{2}-2t\right)\left|\begin{array}{l}B\\ 2\end{array}\right.$

$=4-2-2A+\frac{A^2}{2}$$+\frac{B^2}{2}-2B-2+4$

$\begin{array}{l}=4+\frac{1}{2}\left(A^2+B^2\right)-2\left(A+B\right)\\ =4+\frac{1}{2}\left({t_1}^2+{t_2}^2\right)-2\left(t_1+t_2\right)\end{array}$