Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình e^sin(x - pi/4) = tan x thuộc đoạn [0;50pi]?

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Điều kiện tan x > 0 

PT$\iff e^{\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sin x-\cos x\right)}=\frac{\sin x}{\cos x}\iff \frac{\sin x}{e^{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\sin x}}=\frac{\cos x}{e^{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\cos x}}$ 

Xét hàm số $y=f\left(t\right)=\frac{t}{e^{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}t}}\left(t\left[-1;1\right]\right)$ 

Khi đó $f\text{'}\left(t\right)=\frac{e^{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}t}\left(1-{\displaystyle \frac{t\sqrt{2}}{2}}\right)}{e^{\sqrt{2}t}}>0 \left(\forall t\left[-1;1\right]\right)$ do đó hàm số f(t) đồng biến trên [-1;1] 

Ta có $f\left(\sin x\right)=f\left(\cos x\right)\iff \cos x\iff \tan x=1\iff x=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+k\mathrm{\pi }$ 

Với $x\in \left[0;50\mathrm{\pi }\right]\Rightarrow k=0;1;2;...;49\Rightarrow$ tổng nghiệm của pt là

$50\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\left(1+2+...+49\right)\mathrm{\pi }=\frac{2475}{2}\mathrm{\pi }$