Cho hàm số y=2x-3/x-3 . Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận. Tìm điểm M thuộc (C).

* Hướng dẫn giải

Ta có: $M\left(x_0;\frac{2x_0-3}{x_0-2}\right)\in \left(C\right)$; $x_0\ne 2;y\text{'}\left(x_0\right)=\frac{-1}{{\left(x_0-2\right)}^2}$

Phương trình tiếp tuyến $∆$ với (C) tại M: 

$y=\frac{-1}{\left(x_0-2\right)}\left(x-x_0\right)+\frac{2x_0-3}{x_0-2}$

Tọa độ giao điểm J, K của $∆$ và hai tiệm cận là: $J\left(2;\frac{2x_0-2}{x_0-2}\right);K\left(2x_0-2;2\right)$

Ta có 

$$\begin{gathered} \frac{x_j+x_k}{2}=\frac{2+2x_0-2}{2}=x_0=x_m \\ \frac{y_j+y_k}{2}=\frac{2x_0-3}{x_0-2}=y_m \end{gathered}$$

=> M là trung điểm JK.

Mặt khác I ( 2;2 ) và $∆IJK$ vuông tại I  nên đường tròn ngoại tiếp $∆IJK$ có diện tích:

$$\begin{gathered} S={\mathrm{\pi IM}}^2 \\ =\mathrm{\pi }\left[{\left({\mathrm{x}}_0-2\right)}^2+{\left(\frac{2{\mathrm{x}}_0-3}{{\mathrm{x}}_0-2}-2\right)}^2\right] \\ =\mathrm{\pi }\left[{\left({\mathrm{x}}_0-2\right)}^2+\frac{1}{{\left({\mathrm{x}}_0-2\right)}^2}\right]\ge 2\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

$$\begin{gathered} {\left(x_0-2\right)}^2=\frac{1}{{\left(x_0-2\right)}^2} \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_0=1\Rightarrow M\left(1;1\right)\\ x_0=3\Rightarrow M\left(3;3\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Đáp án A