Biết đường thẳng y=( 3m - 1)x + 6m + 3 cắt đồ thị hàm số y=x^3 - 3x^2

* Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Phương trình hoành dộ giao điểm của (C) và (d) là

$$\begin{gathered} \left(3m-1\right)x+6m+3=x^3-3x^2+1 \\ \iff x^3-3x^2-\left(3m-1\right)x-6m-2=0 (*). \end{gathered}$$

Giả sử $A\left(x_1;y_1\right),B\left(x_2;y_2\right)$ và $C\left(x_3;y_3\right)$ lần lượt là giao điểm của (C) và (d).

Vì B cách đều 2 điểm A, C $\Rightarrow$ B là trung

điểm của AC$\Rightarrow x_1+x_3=2x_2.$ 

Mà theo định lí Viet cho phương trình (*), ta được

$x_1+x_2+x_3=3\to 3x_2=3\Rightarrow x_2=1.$ 

Thay $x_2=1$ vào (*), ta có

$$\begin{gathered} 1^3-{3.1}^2-\left(3m-1\right)-6m-2=0 \\ \iff -9m-3=0\iff m=-\frac{1}{3}. \end{gathered}$$ 

Thử lại, với $m=-\frac{1}{3}\Rightarrow (*)\iff x^3-3x^2+2x=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=2\end{array}\right.$(TM)

Vậy $m\in \left(-1;0\right).$