Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình log2 3 x-3log3 x +2m -7=0

* Hướng dẫn giải

Đáp án D.

Đặt $t={\log }_{3}x\Rightarrow t^2-3t+2m-7=0$

PT có 2 nghiệm khi $\Delta =9-4\left(2m-7\right)=37-8m>0\Rightarrow$ PT có 2 nghiệm $t_1;t_2\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{\log }_3{x}_1=t_1\\ {\log }_3{x}_2=t_2\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_1=3^{t_1}\\ x_2=3^{t_2}\end{array}\right.$

Khi đó theo định lý Viet ta có: $\left\{\begin{array}{l}{t}_1+t_2=3\\ t_1{t}_2=2m-7\end{array}\right.$

Do:

$$\begin{gathered} \left(x_1+3\right)\left(x_2+3\right)=72 \\ \iff x_1{x}_2+3\left(x_1+x_2\right)=63 \\ \iff 3^{t_1}{.3}^{t_2}+3\left(3^{t_1}+3^{t_2}\right)=63 \\ \iff 3^{t_1+t_2}+3\left(3^{t_1}+3^{t_2}\right)=63 \\ \iff 3^{t_1}+3^{t_2}=12 \\ \iff 3^{3-t_2}+3^{t_2}=12 \end{gathered}$$

Đặt:

$$\begin{gathered} u=3^{t_2}\Rightarrow \frac{27}{u}+u=12 \\ \iff \left[\begin{array}{l}u=3\\ u=9\end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l}{t}_2=1\Rightarrow t_1=2\\ t_2=2\Rightarrow t_1=1\end{array}\right. \\ \Rightarrow t_1{t}_2=2\Rightarrow m=\frac{9}{2}\left(t/m\right). \end{gathered}$$