Cho đồ thị (C): y =x^3 -3x^2 Có bao nhiêu số nguyên b thuộc (-10;10) để có đúng

* Hướng dẫn giải

Đáp án A.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại $M\left(x_0;x_0^3-3x_0^2\right)$ có dạng: $y=\left(3x_0^2-6x_0\right)\left(x-x_0\right)+x_0^3-3x_0^2$

Do tiếp tuyến đi qua điểm: $\left(0;b\right)$

$\Rightarrow b=\left(3x_0^2-6x_0\right)\left(-x_0\right)+x_0^3-3x_0^2=-2x_0^3+3x_0^2$

Để có đúng một tiếp tuyến của (C) đi qua $B\left(0;b\right)$ thì phương trình $b=-2x_0^3+3x_0^2$ có duy nhất một nghiệm. Xét hàm số:

$$\begin{gathered} y=-2x^3+3x^2 \\ \Rightarrow y\text{'}=-6x^2+6x=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=0\Rightarrow y=0\\ x=1\Rightarrow y=1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra PT có 1 nghiệm khi $\left[\begin{array}{l}b>1\\ b<0\end{array}\right.$

Với $b\in \left(-10;10\right)$ có 17 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.