Tìm tập nghiệm S của bất phương trìnhv(2a)^(x^2+4x+6)+(1-a^2)^(x^2+4x+6)

* Hướng dẫn giải

Chia cả hai vế của bất phương trình cho ${\left(1+a^2\right)}^{x^2+4x+6}>0$ ta được:

$$\begin{gathered} {\left(\frac{2a}{1+a^2}\right)}^{x^2+4x+6} \\ +{\left(\frac{1-a^2}{1+a^2}\right)}^{x^2+4x+6}\le 1 \end{gathered}$$

Đặt $\alpha =\tan \left(\frac{t}{2}\right)$ với $0<\frac{t}{2}<\frac{\mathrm{\pi }}{4}\iff 0<t<\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

Khi đó $\frac{2a}{1+a^2}=\sin \left(t\right)$ và $\frac{1-a^2}{1+a^2}={\cos }^2\left(t\right)$

Bất phương trình đã cho tương đương với 

$$\begin{gathered} {\left(\sin \left(t\right)\right)}^{{\left(x+2\right)}^2+2} \\ +{\left(\cos \left(t\right)\right)}^{{}^{{\left(x+2\right)}^2+2}}\le 1 \end{gathered}$$

Bất phương trình (*) luôn đúng vì

${\left(\sin \left(t\right)\right)}^{{\left(x+2\right)}^2+2}\le {\sin }^2\left(t\right)$ và ${\left(\cos \left(t\right)\right)}^{{\left(x+2\right)}^2+2}\le {\cos }^2\left(t\right)$

Vậy S = R

Đáp án A