Cho hàm số y =f(x) có đạo hàm f'(x) = (x-1)^2 (x^2 -2x), với mọi x thuộc R

* Hướng dẫn giải

Đáp án C.

Ta có:

$$\begin{gathered} g\text{'}\left(x\right)=\left(2x-8\right)f\text{'}\left(x^2-8x+m\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}x=4\\ f\text{'}\left(x^2-8x+m\right)=0(*)\end{array}\right.. \end{gathered}$$

Mà:

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2\left(x^2-2x\right) \\ ={\left(x-1\right)}^2.x\left(x-2\right);\forall x\in ℝ. \end{gathered}$$

Suy ra (*)

$$\begin{gathered} \iff {\left(x^2-8x+m-1\right)}^2\left(x^2-8x+m\right)\left(x^2-8x+m-2\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}{x}^2-8x+m-1=0\left(1\right)\\ x^2-8x+m=0\left(2\right)\\ x^2-8x+m-2=0\left(3\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Để hàm số đã cho có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi:

TH1. (1) có nghiệm kép $x=4,$ (2), (3) có 2 nghiệm phân biệt.

TH2. (1) không có nghiệm kép $x=4,$ (2), (3) có 2 nghiệm phân biệt.

Khi đó $m<16$ là các giá trị thỏa mãn. Kết hợp $m\in {\mathbb{Z}}^{+}\Rightarrow$ có 15 giá trị m cần tìm.